Ограниченные, монотонные последовательности. Теорема вейерштрасса о пределе монотонной последовательности Какая последовательность называется убывающей

Определение 1. Последовательностьназываетсяубывающей (невозрастающей ), если для всех
выполняется неравенство
.

Определение 2. Последовательность
называетсявозрастающей (неубывающей ), если для всех
выполняется неравенство
.

Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называютсямонотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют такжестрого монотонными последовательностями.

Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны.

Пример 1. Последовательность
возрастает,не убывает,
убывает,
не возрастает,
– немонотонная последовательность.

Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая

Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Доказательство . Пусть последовательность
не убывает и ограничена сверху, т.е.
и множество
ограничено сверху. По теореме 1 § 2 существует
. Докажем, что
.

Возьмем
произвольно. Посколькуа – точная верхняя граница, существует номерN такой, что
. Так как последовательность неубывающая, то для всех
имеем, т.е.
, поэтому
для всех
, а это и означает, что
.

Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, доказательство проводится аналогично (студенты могут доказать это утверждение дома самостоятельно ). Теорема доказана.

Замечание . Теорему 1 можно сформулировать иначе.

Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.

Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 5.

Условие монотонности не является необходимым для сходимости последовательности, так как сходящаяся последовательность не обязательно монотонна. Например, последовательность
не монотонная, однако сходится к нулю.

Следствие . Если последовательность
возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то
(
).

Действительно, по теореме 1
(
).

Определение 4. Еслии
при
, то последовательностьназываетсястягивающейся системой вложенных отрезков .

Теорема 3 (принцип вложенных отрезков). У всякой стягивающейся системы вложенных отрезков существует, и притом единственная, точкас , принадлежащая всем отрезкам этой системы.

Доказательство . Докажем, что точкас существует. Поскольку
, то
и, следовательно, последовательность
не убывает, а последовательность
не возрастает. При этом
и
ограничены, так как. Тогда по теореме 1 существуют
и
, но так как
, то
=
. Найденная точкас принадлежит всем отрезкам системы, так как по следствию теоремы 1
,
, т.е.
для всех значенийn .

Покажем теперь, что точка с – единственная. Предположим, что таких точек две:с иd и пусть для определенности
. Тогда отрезок
принадлежит всем отрезкам
, т.е.
для всехn , что невозможно, так как
и, значит, начиная с некоторого номера,
. Теорема доказана.

Отметим, что здесь существенно то, что рассматриваются замкнутые промежутки, т.е. отрезки. Если рассмотреть систему стягивающихся интервалов, то принцип, вообще говоря, неверен. Например, интервалы
, очевидно, стягиваются в точку
, однако точка
не принадлежит ни одному интервалу этой системы.

Рассмотрим теперь примеры сходящихся монотонных последовательностей.

1) Число е .

Рассмотрим теперь последовательность
. Как она себя ведет? Основание

степени
, поэтому
? С другой стороны,
, а
, поэтому
? Или предел не существует?

Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим вспомогательную последовательность
. Докажем, что она убывает и ограничена снизу. При этом нам будет нужна

Лемма . Если
, то для всех натуральных значенийn имеем

(неравенство Бернулли).

Доказательство . Воспользуемся методом математической индукции.

Если
, то
, т.е. неравенство верно.

Предположим, что оно верно для
и докажем его справедливость для
+1.

Верно
. Умножим это неравенство на
:

Таким образом, . Значит, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли верно для всех натуральных значенийn . Лемма доказана.

Покажем, что последовательность
убывает. Имеем

‌‌‌׀неравенство Бернулли׀
,а это и означает, что последовательность
убывает.

Ограниченность снизу следует из неравенства
‌‌‌׀неравенство Бернулли׀
для всех натуральных значенийn .

По теореме 1 существует
, который обозначают буквойе . Поэтому
.

Число е иррационально и трансцендентно,е = 2,718281828… . Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов.

Замечания . 1) Неравенство Бернулли можно использовать для доказательства того, что
при
. Действительно, если
, то
. Тогда, по неравенству Бернулли,при
. Отсюда при
имеем
, то есть
при
.

2) В рассмотренном выше примере основание степени стремится к 1, а показатель степениn – к, то есть имеет место неопределенность вида. Неопределенность такого вида, как мы показали, раскрывается с помощью замечательного предела
.

2)
(*)

Докажем, что эта последовательность сходится. Для этого покажем, что она ограничена снизу и не возрастает. При этом воспользуемся неравенством
для всех
, которое является следствием неравенства
.

Имеем
см. неравенство выше
, т.е. последовательность ограничена снизу числом
.

Далее,
так как

, т.е. последовательность не возрастает.

По теореме 1 существует
, который обозначимх . Переходя в равенстве (*) к пределу при
, получим

, т.е.
, откуда
(берем знак «плюс», так как все члены последовательности положительны).

Последовательность (*) применяется при вычислении
приближенно. Заберут любое положительное число. Например, найдем
. Пусть
. Тогда
,. Таким образом,
.

3)
.

Имеем
. Поскольку
при
, существует номерN , такой, что для всех
выполняется неравенство
. Таким образом, последовательность
, начиная с некоторого номераN , убывает и ограничена снизу, так как
для всех значенийn . Значит, по теореме 1 существует
. Поскольку
, имеем
.

Итак,
.

4)
, справа –n корней.

Методом математической индукции покажем, что
для всех значенийn . Имеем
. Пусть
. Тогда, отсюда получаем утверждение по принципу математической индукции. Используя этот факт, находим, т.е. последовательность
возрастает и ограничена сверху. Поэтому существует, так как
.

Таким образом,
.

Определение. Последовательность {x n } называется ограниченной , если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Например, последовательности 2 0), 3 0), 4 0), 5 0) – ограниченные, а последовательность 1 0) – неограниченная.

Непосредственно из определения ограниченной последовательности и определения предела последовательности следует теорема:

Теорема. Если x n ® a, то последовательность {x n } ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательность не имеет предела, хотя

Определение. Последовательность {x n }называется ограниченной сверху , если для любого n существует такое число М, что x n £ M.

Пример. {x n } = 3n – ограничена снизу {3, 6, 9, … }.

Монотонные последовательности.

Определение. 1) Если x n +1 > x n для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x n +1 ³ x n для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x n +1 < x n для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если x n +1 £ x n для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными .

Пример. {x n } = 1/n – убывающая и ограниченная

{x n } = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {x n }= монотонная возрастающая.

Решение. Найдем член последовательности {x n +1 }=

Найдем знак разности: {x n }-{x n +1 }=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x n +1 > x n . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

Решение. Найдем . Найдем разность

Т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. х n+1 < x n . Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

х 1 £ х 2 £ х 3 £ … £ х n £ x n +1 £ …

Эта последовательность ограничена сверху: x n £ M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что x N > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {x n }- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < x N £ x n ,

Отсюда a - e < x n < a + e

E < x n – a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

§3. Число е .

Рассмотрим последовательность {x n } = .

Если последовательность {x n } монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

Или, что то же самое

Покажем, что последовательность {x n } – возрастающая. Действительно, запишем выражение x n +1 и сравним его с выражением x n:

Каждое слагаемое в выражении x n +1 больше соответствующего значения x n , и, кроме того, у x n +1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x n } возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x n < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е .

Из неравенства следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {x n } все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx.

Связь натурального и десятичного логарифмов.

Пусть х = 10 у, тогда lnx = ln10 y , следовательно lnx = yln10

у = , где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.

§4. Понятие предела функции .

4.1. Предел функции в точке.

y f(x)

0 a - D a a + D x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

ïx - aï < D

верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

Где М = e + ïАï

Теорема доказана.

4.2. Односторонние пределы.

Определение. Если f(x) ® A 1 при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева , а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа .

у

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А 1 и А 2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

4.3.Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

Элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Пусть имеется множество X {\displaystyle X} , на котором введено отношение порядка .

  Последовательность элементов множества X {\displaystyle X} называется неубывающей , если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

  { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - неубывающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1}}

  Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется невозрастающей , если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

  { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - невозрастающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1}}

  Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется возрастающей , если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

  { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - возрастающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n < x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}

  Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется убывающей , если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

  { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - убывающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n > x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1}}

  монотонной , если она является неубывающей, либо невозрастающей.

  Последовательность называется строго монотонной , если она является возрастающей, либо убывающей.

  Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

  Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» - в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

  Промежутки монотонности

  Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , а лишь для номеров из некоторого диапазона

  I = { n ∈ N ∣ N − ⩽ n < N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n

  (здесь допускается обращение правой границы N + {\displaystyle N_{+}} в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке I {\displaystyle I} , а сам диапазон I {\displaystyle I} называется промежутком монотонности последовательности.

  Определение 1. Последовательность называется неубывающей [невозрастающей], если каждый элемент последовательности, начиная со второго, не меньше [не больше) предыдущего ее элемента, т. е. если для всех номеров справедливо неравенство

  Определение 2. Последовательность называется монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей.

  Если элементы неубывающей последовательности для всех номеров удовлетворяют строгому неравенству то эту последовательность называют возрастающей.

  Аналогично, если элементы невозрастающей последовательности для всех номеров удовлетворяют строгому неравенству то эту последовательность называют убывающей.

  Заметим, что всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны (либо сверху, либо снизу). В самом деле, всякая неубывающая последовательность ограничена снизу (в качестве нижней грани можно взять величину ее первого элемента), а всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху (в качестве верхней грани также можно взять величину ее первого элемента).

  Отсюда следует, что неубывающая последовательность будет ограниченной с обеих сторон, или просто ограниченной, тогда и только тогда, когда она ограничена сверху, а невозрастающая последовательность будет ограниченной тогда и только тогда, когда она ограничена снизу.

  Рассмотрим примеры монотонных последовательностей.

  1. Последовательность является неубывающей. Она ограничена снизу величиной своего первого элемента, а сверху не ограничена.

  2. Последовательность является убывающей. Она ограничена с обеих сторон: сверху величиной своего первого элемента 2, а снизу, например, числом 1.

  Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x n , то говорят, что задана числовая последовательность

  x 1 , x 2 , … x n , …

  Число x 1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x 2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n называют членом последовательности с номером n .

  Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы .

  Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности

  x 1 , x 2 , … x n , …

  с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n от его номера n .

  Пример 1 . Числовая последовательность

  1, 4, 9, … n 2 , …

  задана с помощью формулы общего члена

  x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

  Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .

  x 1 , x 2 , … x n , …

  называют возрастающей последовательностью, больше предшествующего члена.

  Другими словами, для всех n

  x n + 1 > x n

  Пример 3 . Последовательность натуральных чисел

  1, 2, 3, … n , …

  является возрастающей последовательностью .

  Определение 2. Числовую последовательность

  x 1 , x 2 , … x n , …

  называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

  Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

  x n + 1 < x n

  Пример 4 . Последовательность

  

  заданная формулой

  является убывающей последовательностью .

  Пример 5 . Числовая последовательность

  1, - 1, 1, - 1, …

  заданная формулой

  x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

  не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

  Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .

  Ограниченные и неограниченные последовательности

  Определение 4. Числовую последовательность

  x 1 , x 2 , … x n , …

  называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .

  Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

  Определение 5. Числовую последовательность

  x 1 , x 2 , … x n , …

  называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .

  Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

  Определение 6. Числовую последовательность

  x 1 , x 2 , … x n , …

  называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

  Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

  m < x n < M

  Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными , называют неограниченными последовательностями .

  Пример 6 . Числовая последовательность

  1, 4, 9, … n 2 , …

  заданная формулой

  x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

  ограничена снизу , например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху .

  Пример 7 . Последовательность

  заданная формулой

  является ограниченной последовательностью , поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

  На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .

  Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

  подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов